Top 59 Zitate und Sprüche von George Polya

Wer schwimmen lernen will, muss ins Wasser gehen und wer ein Problemlöser werden will, muss Probleme lösen.

Im Mathematikunterricht ist es möglicherweise wichtiger, wie Sie unterrichten, als was Sie unterrichten.

Meine Methode, eine Schwierigkeit zu überwinden, besteht darin, sie zu umgehen.

Wo soll ich anfangen? Beginnen Sie mit der Problemstellung. ... Was kann ich machen? Visualisieren Sie das Problem als Ganzes so klar und anschaulich wie möglich. ... Was kann ich dadurch gewinnen? Sie sollten das Problem verstehen, sich damit vertraut machen und sich dessen Zweck klar einprägen.

Ein Mathematiker, der nur verallgemeinern kann, ist wie ein Affe, der nur auf einen Baum klettern kann, und ein Mathematiker, der nur spezialisieren kann, ist wie ein Affe, der nur auf einen Baum klettern kann. Tatsächlich sind weder der Up-Affe noch der Down-Affe ein lebensfähiges Geschöpf. Ein echter Affe muss Nahrung finden und seinen Feinden entkommen und muss daher in der Lage sein, ununterbrochen auf und ab zu klettern. Ein echter Mathematiker muss in der Lage sein, zu verallgemeinern und zu spezialisieren.

John von Neumann war der einzige Student, vor dem ich jemals Angst hatte.

Die Eleganz eines mathematischen Theorems ist direkt proportional zur Anzahl unabhängiger Ideen, die man im Theorem sehen kann, und umgekehrt proportional zum Aufwand, der nötig ist, um sie zu erkennen.

Die erste Regel beim Entdecken ist, Köpfchen und Glück zu haben. Die zweite Regel der Entdeckung besteht darin, ruhig zu bleiben und zu warten, bis Sie eine gute Idee haben.

Hilbert hatte einmal einen Mathematikstudenten, der nicht mehr zu seinen Vorlesungen kam, und schließlich wurde ihm gesagt, der junge Mann sei Dichter geworden. Hilbert soll bemerkt haben: „Ich hätte nie gedacht, dass er genug Fantasie hätte, um Mathematiker zu werden.“

Wenn uns eine Idee präsentiert wird, die hilfreich sein könnte, schätzen wir sie oft nicht, weil sie so unauffällig ist. Der Experte hat vielleicht nicht mehr Ideen als der Unerfahrene, aber er schätzt das, was er hat, mehr und nutzt es besser.

Das Ergebnis der schöpferischen Arbeit des Mathematikers ist demonstratives Denken, ein Beweis; aber der Beweis wird durch plausibles Denken, durch Vermutungen gefunden.

Die besten Ideen werden durch unkritische Akzeptanz beschädigt und gedeihen bei kritischer Prüfung.

Das Lösen von Problemen ist eine praktische Fähigkeit wie beispielsweise Schwimmen. Wir erwerben jede praktische Fähigkeit durch Nachahmung und Übung. Beim Versuch zu schwimmen ahmt man nach, was andere mit Händen und Füßen tun, um den Kopf über Wasser zu halten, und lernt schließlich schwimmen, indem man das Schwimmen übt. Beim Versuch, Probleme zu lösen, muss man beobachten und nachahmen, was andere Leute tun, wenn sie Probleme lösen, und schließlich lernt man, Probleme zu lösen, indem man sie tut.

Mathematik ist kein Zuschauersport!

Was ist der Unterschied zwischen Methode und Gerät? Eine Methode ist ein Gerät, das Sie zweimal verwenden.

Ein Mathematiklehrer ist eine Hebamme für Ideen.

Eine Idee, die nur einmal verwendet werden kann, ist ein Trick. Wenn man es mehr als einmal verwenden kann, wird es zu einer Methode.

Es ist besser, ein Problem auf fünf verschiedene Arten zu lösen, als fünf Probleme auf eine Weise.

Schauen Sie sich um, wenn Sie Ihren ersten Pilz bekommen oder Ihre erste Entdeckung gemacht haben: Sie wachsen in Büscheln.

Korrektes Schreiben und Sprechen ist sicherlich notwendig; aber es reicht nicht aus. Eine im Buch oder an der Tafel korrekt dargestellte Ableitung kann unzugänglich und wenig lehrreich sein, wenn der Zweck der aufeinanderfolgenden Schritte unverständlich ist, wenn der Leser oder Zuhörer nicht verstehen kann, wie es menschlich möglich war, ein solches Argument zu finden ...

Das Prinzip ist so vollkommen allgemein, dass keine spezielle Anwendung davon möglich ist.

In der „commentatio“ (Notiz an die Russische Akademie), in der sein Satz über Polyeder (über die Anzahl der Flächen, Kanten und Eckpunkte) erstmals veröffentlicht wurde, gibt Euler keinen Beweis an. Anstelle eines Beweises bietet er ein induktives Argument an: Er überprüft die Beziehung in einer Vielzahl von Sonderfällen. Es besteht kaum ein Zweifel daran, dass er den Satz, wie viele seiner anderen Ergebnisse auch, induktiv entdeckte.

Die Welt brennt darauf, diesen Höhepunkt und Höhepunkt der modernen Mathematik zu bewundern: einen Satz, der so vollkommen allgemein ist, dass keine besondere Anwendung desselben möglich ist.

Ich bin zu gut für Philosophie und nicht gut genug für Physik. Mathematik liegt dazwischen.

Wenn Sie einen Satz beweisen müssen, beeilen Sie sich nicht. Verstehen Sie zunächst vollständig, was der Satz sagt, und versuchen Sie, klar zu erkennen, was er bedeutet. Überprüfen Sie dann den Satz. es könnte falsch sein. Untersuchen Sie die Konsequenzen und überprüfen Sie so viele Einzelfälle, wie nötig sind, um sich von der Wahrheit zu überzeugen. Wenn Sie überzeugt sind, dass der Satz wahr ist, können Sie mit dem Beweis beginnen.

Wenn gute Logik zur falschen Zeit oder am falschen Ort eingeführt wird, kann sie der schlimmste Feind guten Unterrichts sein.

Mathematik besteht darin, das Offensichtlichste auf die am wenigsten offensichtliche Weise zu beweisen.

Es gibt viele Fragen, die Narren stellen können, die weise Männer nicht beantworten können.

Die erste Stilregel besteht darin, etwas zu sagen zu haben. Die zweite Stilregel besteht darin, sich zu beherrschen, wenn man zufällig zwei Dinge zu sagen hat; Sagen Sie zuerst das eine, dann das andere, nicht beide gleichzeitig.

Die erste und wichtigste Aufgabe des Gymnasiums im Mathematikunterricht besteht darin, den Schwerpunkt auf die methodische Arbeit bei der Problemlösung zu legen ... Der Lehrer, der allen seinen Schülern, zukünftigen Benutzern und Nichtbenutzern der Mathematik, gleichermaßen dienen möchte, sollte Problemlösung so lehren, dass es darum geht ein Drittel Mathematik und zwei Drittel gesunder Menschenverstand.

Wenn Sie das vorgeschlagene Problem nicht lösen können, versuchen Sie zunächst, ein damit zusammenhängendes Problem zu lösen.

Der Lehrer kann es sich selten leisten, die Fragen zu übersehen: Was ist das Unbekannte? Was sind die Daten? Was ist der Zustand? Der Student sollte die Hauptteile des Problems aufmerksam, wiederholt und von verschiedenen Seiten betrachten.

Das offene Geheimnis echten Erfolgs besteht darin, sich mit der ganzen Persönlichkeit dem Problem zu widmen.

Es gibt viele Fragen, die die Narren stellen können und die der Intelligente nicht beantworten kann.

Das Lösen von Problemen ist eine praktische Kunst, wie Schwimmen, Skifahren oder Klavierspielen: Man kann sie nur durch Nachahmung und Übung erlernen.

Mathematik ist faul. Mathematik bedeutet, die Prinzipien die Arbeit für Sie erledigen zu lassen, sodass Sie die Arbeit nicht selbst erledigen müssen

Pedanterie und Meisterschaft sind gegensätzliche Einstellungen gegenüber Regeln. Eine Regel strikt und fraglos auf den Buchstaben anzuwenden, sowohl in den Fällen, in denen sie passt, als auch in den Fällen, in denen sie nicht passt, ist Pedanterie. [...] Eine Regel mit natürlicher Leichtigkeit anzuwenden, mit Urteilsvermögen, die Fälle zu bemerken, in denen sie passt, und ohne jemals zuzulassen, dass die Worte der Regel jemals den Zweck der Handlung oder die Chancen der Situation verschleiern, ist Meisterschaft.

Eine große Entdeckung löst ein großes Problem, aber in der Lösung jedes Problems steckt ein Körnchen Entdeckung. Ihr Problem mag bescheiden sein, aber wenn es Ihre Neugier herausfordert und Ihren Erfindergeist ins Spiel bringt und Sie es auf eigene Faust lösen, können Sie die Spannung spüren und den Triumph der Entdeckung genießen.

Um diese Differentialgleichung zu lösen, betrachten Sie sie, bis Ihnen eine Lösung einfällt.

Eine GROSSE Entdeckung löst ein großes Problem, aber in jedem Problem steckt ein Körnchen Entdeckung.

Sie sollten nicht zu sehr auf unbewiesene Vermutungen vertrauen, selbst wenn sie von einer großen Autorität aufgestellt wurden, selbst wenn sie von Ihnen selbst aufgestellt wurden. Sie sollten versuchen, es zu beweisen oder zu widerlegen.

Eine der ersten und wichtigsten Pflichten des Lehrers besteht darin, seinen Schülern nicht den Eindruck zu vermitteln, dass mathematische Probleme wenig miteinander und überhaupt keinen Zusammenhang mit irgendetwas anderem haben. Wir haben eine natürliche Gelegenheit, die Zusammenhänge eines Problems zu untersuchen, wenn wir auf seine Lösung zurückblicken.

Wenn es ein Problem gibt, das Sie nicht lösen können, dann gibt es ein einfacheres Problem, das Sie nicht lösen können: Finden Sie es.

Wenn der Beweis von Axiomen ausgeht, mehrere Fälle unterscheidet und im Lehrbuch dreizehn Zeilen einnimmt ... könnte das bei den Jugendlichen den Eindruck erwecken, dass Mathematik darin besteht, die offensichtlichsten Dinge auf die am wenigsten offensichtliche Weise zu beweisen.

In Zürich gab es ein Seminar für Fortgeschrittene, das ich leitete, und von Neumann war in der Klasse. Ich kam zu einem bestimmten Satz und sagte, er sei nicht bewiesen und könnte schwierig sein. Von Neumann sagte nichts, hob aber nach fünf Minuten die Hand. Als ich ihn aufsuchte, ging er zur Tafel und schrieb den Beweis nieder. Danach hatte ich Angst vor von Neumann.

Die Mathematik hat zwei Gesichter: Sie ist die strenge Wissenschaft Euklids, aber sie ist auch etwas anderes. Die auf euklidische Weise dargestellte Mathematik erscheint als systematische, deduktive Wissenschaft; aber die entstehende Mathematik erscheint als experimentelle, induktive Wissenschaft. Beide Aspekte sind so alt wie die Wissenschaft der Mathematik selbst.

Euklids Darlegungsweise, die unablässig von den Daten zum Unbekannten und von der Hypothese zur Schlussfolgerung vorschreitet, eignet sich perfekt für die detaillierte Überprüfung des Arguments, ist jedoch bei weitem nicht perfekt, um den Hauptstrang des Arguments verständlich zu machen.

Der zukünftige Mathematiker ... sollte Probleme lösen, die Probleme auswählen, die in sein Fachgebiet fallen, über ihre Lösung nachdenken und neue Probleme erfinden. Auf diese Weise und auf allen anderen Wegen sollte er versuchen, seine erste wichtige Entdeckung zu machen: Er sollte seine Vorlieben und Abneigungen, seinen Geschmack, seine eigene Linie entdecken.

Das Kochbuch enthält eine detaillierte Beschreibung der Zutaten und Verfahren, jedoch keine Belege für seine Rezepte oder Begründungen für seine Rezepte; Der Beweis für den Pudding liegt im Essen. ... Mathematik kann nicht genau auf die gleiche Weise getestet werden wie ein Pudding; Wenn jede Art von Argumentation ausgeschlossen wird, kann ein Kalkülkurs leicht zu einer inkohärenten Bestandsaufnahme unverdaulicher Informationen werden.

Geometrie ist die Wissenschaft vom richtigen Denken über falsche Zahlen.

Der Erfolg bei der Lösung des Problems hängt von der Wahl des richtigen Aspekts und vom Angriff auf die Festung von ihrer zugänglichen Seite ab.

Epitaph über Newton: Die Natur und das Naturgesetz lagen in der Nacht verborgen: Gott sagte: „Lass Newton sein!“, und alles war Licht. [hinzugefügt von Sir John Collings Squire: Es dauerte nicht lange: Der Teufel rief „Ho. Lass Einstein sein“ und stellte den Status quo wieder her] [Aaron Hills Version: Über die Naturgesetze warf Gott den Schleier der Nacht, erlosch er eine Newtons Seele und alles war leicht.

Ich vermeide bewusst den Standardbegriff, den es zu Eulers Zeiten übrigens noch nicht gab. Eine der hässlichsten Folgen der „neuen Mathematik“ war die vorzeitige Einführung technischer Begriffe.

Sogar ziemlich gute Schüler schließen ihr Buch und suchen nach etwas anderem, wenn sie die Lösung des Problems gefunden und das Argument ordentlich aufgeschrieben haben. Dadurch verpassen sie eine wichtige und lehrreiche Phase der Arbeit. ... Ein guter Lehrer sollte verstehen und seinen Schülern die Ansicht vermitteln, dass kein Problem völlig erschöpft ist.

Die Analogie durchdringt unser gesamtes Denken, unsere Alltagssprache und unsere trivialen Schlussfolgerungen ebenso wie künstlerische Ausdrucksformen und höchste wissenschaftliche Errungenschaften.

Schönheit in der Mathematik besteht darin, die Wahrheit mühelos zu erkennen.

Um effektiv zu unterrichten, muss ein Lehrer ein Gespür für sein Fach entwickeln; Er kann seine Schüler nicht dazu bringen, ihre Vitalität zu spüren, wenn er sie nicht selbst spürt. Er kann seine Begeisterung nicht teilen, wenn er keine Begeisterung zu teilen hat. Die Art und Weise, wie er seinen Standpunkt darlegt, kann genauso wichtig sein wie der Standpunkt, den er vorbringt. er muss persönlich das Gefühl haben, dass es wichtig ist.

Um einen Satz aus dem Englischen ins Französische zu übersetzen, sind zwei Dinge notwendig. Zuerst müssen wir den englischen Satz gründlich verstehen. Zweitens müssen wir mit den Ausdrucksformen vertraut sein, die der französischen Sprache eigen sind. Die Situation ist sehr ähnlich, wenn wir versuchen, eine in Worten vorgeschlagene Bedingung in mathematischen Symbolen auszudrücken. Zuerst müssen wir den Zustand gründlich verstehen. Zweitens müssen wir mit den Formen des mathematischen Ausdrucks vertraut sein.

Mathematik ist die billigste Wissenschaft. Im Gegensatz zu Physik oder Chemie ist dafür keine teure Ausrüstung erforderlich. Alles, was man für Mathematik braucht, ist ein Bleistift und Papier.