Ein Zitat von Hans Reichenbach
Das Konzept der Kongruenz in der euklidischen Geometrie ist nicht genau dasselbe wie das in der nichteuklidischen Geometrie. „Kongruent“ bedeutet in der euklidischen Geometrie dasselbe wie „Parallelität bestimmen“, eine Bedeutung, die es in der nichteuklidischen Geometrie nicht hat.
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...das Differentialelement nichteuklidischer Räume ist euklidisch. Diese Tatsache ist jedoch analog zu den Beziehungen zwischen einer Geraden und einer Kurve und kann im Gegensatz zu den Ansichten einiger Autoren nicht zu einer erkenntnistheoretischen Priorität der euklidischen Geometrie führen.
Die klassischen Theoretiker ähneln euklidischen Geometern in einer nichteuklidischen Welt, die entdecken, dass in der Erfahrung scheinbar parallele Geraden häufig aufeinandertreffen, und die Geraden als einzige Lösung für die unglücklichen Kollisionen, die auftreten, zurechtweisen, weil sie nicht gerade bleiben. Doch in Wahrheit gibt es kein Heilmittel, außer das Parallelenaxiom über Bord zu werfen und eine nichteuklidische Geometrie auszuarbeiten.
In diesem Stadium meiner Jugend blieb der Tod ein ebenso abstraktes Konzept wie nichteuklidische Geometrie oder Ehe. Ich war mir seiner schrecklichen Endgültigkeit und des Chaos, das es für diejenigen anrichten konnte, die dem Verstorbenen ihr Herz anvertraut hatten, noch nicht bewusst.
Sie [nichteuklidische Geometrie] zählte zu den berühmtesten Errungenschaften des gesamten [19.] Jahrhunderts, doch bis 1860 war das Interesse eher gering.
Nicht, dass die Sätze der Geometrie nur annähernd wahr wären, sondern dass sie in Bezug auf den euklidischen Raum, der so lange als der physische Raum unserer Erfahrung angesehen wurde, absolut wahr bleiben.
Ich bin in einen Omnibus gestiegen, um irgendwohin zu fahren. In diesem Moment, als ich meinen Fuß auf die Stufe setzte, kam mir die Idee, ohne dass irgendetwas in meinen vorherigen Gedanken den Weg dafür geebnet hätte, dass die Transformationen, die ich zur Definition der Fuchsschen Funktionen verwendet hatte, mit der nichteuklidischen Geometrie identisch waren .
Meiner Familie ging es gut, aber sie war nicht reich. Die vier Jahre meines Studiums verbrachte ich damit, am Strand zu arbeiten. Und das lag nicht daran, dass ich faul war; Das lag daran, dass mein Erstsemesterjahrgang zu hundert verschiedenen Arbeitgebern ging und keinen Bissen bekam. Das war ein Ungleichgewichtssystem. Mir wurde klar, dass die gewöhnliche altmodische euklidische Geometrie nicht zutraf.
Die Entwicklung der westlichen Wissenschaft basiert auf zwei großen Errungenschaften: der Erfindung des formalen logischen Systems (in der euklidischen Geometrie) durch die griechischen Philosophen und der Entdeckung der Möglichkeit, kausale Zusammenhänge durch systematische Experimente herauszufinden (während der Renaissance). Meiner Meinung nach muss man sich nicht wundern, dass die chinesischen Weisen diese Schritte nicht unternommen haben. Das Erstaunliche ist, dass diese Entdeckungen überhaupt gemacht wurden.
Analytische Geometrie hat es nie gegeben. Es gibt nur Leute, die lineare Geometrie schlecht beherrschen, indem sie Koordinaten nehmen, und sie nennen das analytische Geometrie. Raus mit ihnen!
Die metrische Geometrie ist somit ein Teil der beschreibenden Geometrie, und die beschreibende Geometrie ist alles Geometrie.
Die rein formale Sprache der Geometrie beschreibt die Realität des Raumes angemessen. In diesem Sinne könnte man sagen, dass Geometrie gelungene Magie ist. Ich möchte das Gegenteil sagen: Ist nicht jede Magie, sofern sie erfolgreich ist, Geometrie?
Die Beschreibung gerader Linien und Kreise, auf denen die Geometrie beruht, gehört zur Mechanik. Die Geometrie lehrt uns nicht, diese Linien zu zeichnen, sondern erfordert, dass sie gezeichnet werden.
Die Welt der Formen, Linien, Kurven und Körper ist so vielfältig wie die Welt der Zahlen, und nur unser seit langem zufriedener Besitz der euklidischen Geometrie vermittelt uns den Eindruck oder die Illusion, dass es diese Welt bereits gibt in eine überschaubare intellektuelle Struktur eingebunden. Die Merkmale dieser Struktur sind wohlbekannt: Wie im Rest des Lebens wird etwas gegeben und etwas bekommen; Aber die Logik hinter diesen Merkmalen bleibt leicht unbemerkt, und es ist die Logik, die das System kontrolliert.
Tatsächlich, meine Herren, keine Geometrie ohne Arithmetik, keine Mechanik ohne Geometrie ... Sie können nicht mit Erfolg rechnen, wenn Ihr Geist nicht ausreichend auf die Formen und Demonstrationen der Geometrie, auf die Theorien und Berechnungen der Arithmetik geübt ist ... In a Mit anderen Worten, die Proportionstheorie ist für den industriellen Unterricht, was die Algebra für den höchsten mathematischen Unterricht ist.
Geometrie erleuchtet den Intellekt und bringt den Geist in Ordnung. Alle seine Beweise sind sehr klar und geordnet. Es ist kaum möglich, dass sich Fehler in das geometrische Denken einschleichen, weil es übersichtlich und geordnet ist. Daher ist es unwahrscheinlich, dass der Geist, der sich ständig mit der Geometrie beschäftigt, in einen Irrtum verfällt. Auf diese bequeme Weise erwirbt die Person, die sich mit Geometrie auskennt, Intelligenz.
Aber dann wäre Cap'n Crunch in Flockenform selbstmörderischer Wahnsinn; In Milch getaucht würde es ungefähr so lange halten wie Schneeflocken, die in eine Fritteuse rieseln. Nein, die Getreideingenieure von General Mills mussten eine Form finden, die die Oberfläche minimiert, und als eine Art Kompromiss zwischen der durch die euklidische Geometrie diktierten Kugel und den Formen, die mit versunkenen Schätzen in Zusammenhang stehen, nach denen die Getreideästhetiker wahrscheinlich verlangten, Sie haben sich diese schwer zu fassende gestreifte Kissenformation ausgedacht.
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