Ein Zitat von James Joseph Sylvester
Wenn ich gebeten würde, mit einem Wort den Polarstern zu benennen, um den sich das mathematische Firmament dreht, die zentrale Idee, die den gesamten Korpus der mathematischen Lehre durchdringt, würde ich auf die Kontinuität verweisen, wie sie in unseren Vorstellungen vom Raum enthalten ist, und sie sagen ist das, es ist das!
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Wenn das System eine Struktur aufweist, die durch ein mathematisches Äquivalent, ein sogenanntes mathematisches Modell, dargestellt werden kann, und wenn das Ziel auch auf diese Weise quantifiziert werden kann, kann eine Berechnungsmethode entwickelt werden, um den besten Aktionsplan aus Alternativen auszuwählen. Eine solche Verwendung mathematischer Modelle wird als mathematische Programmierung bezeichnet.
Das Mathematische ist der offensichtliche Aspekt der Dinge, in dem wir uns immer schon bewegen und nach dem wir sie überhaupt als Dinge und als solche erleben. Das Mathematische ist die grundlegende Haltung, die wir den Dingen gegenüber einnehmen, indem wir die Dinge als bereits gegeben betrachten und als gegeben betrachten, wie sie gegeben werden müssen und sollten. Daher ist das Mathematische die Grundvoraussetzung der Erkenntnis der Dinge.
Mathematik ist eine logische Methode. . . . Mathematische Sätze drücken keine Gedanken aus. Im Leben ist es nie ein mathematischer Satz, den wir brauchen, sondern wir verwenden mathematische Sätze nur, um von Sätzen, die nicht zur Mathematik gehören, auf andere zu schließen, die ebenfalls nicht zur Mathematik gehören.
Während ich denke: Ich liege hier im Heuhaufen... Der winzige Raum, den ich einnehme, ist so winzig klein im Vergleich zum Rest des Raums, den ich nicht einnehme und der keinen Bezug zu mir hat. Und die Zeitspanne, in der ich leben soll, ist so unbedeutend neben der Ewigkeit, in der ich nicht existiert habe und nicht existieren werde ... Und doch zirkuliert in diesem Atom, diesem mathematischen Punkt, Blut, ein Gehirn arbeitet, wünscht sich etwas... Was für ein Chaos! Was für eine Farce!
Die „Ernsthaftigkeit“ eines mathematischen Theorems liegt nicht in seinen praktischen Konsequenzen, die normalerweise vernachlässigbar sind, sondern in der Bedeutung der mathematischen Ideen, die es verbindet.
Die Konstrukte des mathematischen Geistes sind zugleich frei und notwendig. Der einzelne Mathematiker fühlt sich frei, seine Begriffe zu definieren und seine Axiome nach Belieben aufzustellen. Aber die Frage ist, ob er das Interesse seiner Mathematikkollegen für die Konstrukte seiner Vorstellungskraft wecken wird. Wir können uns des Gefühls nicht erwehren, dass bestimmte mathematische Strukturen, die durch die gemeinsamen Anstrengungen der mathematischen Gemeinschaft entstanden sind, den Stempel einer Notwendigkeit tragen, die von den Zufällen ihrer historischen Entstehung nicht berührt wird.
Diese häufige und bedauerliche Tatsache, dass die Grundideen und Motivationen fast aller mathematischen Theorien nicht angemessen dargelegt werden, ist wahrscheinlich auf die binäre Natur der mathematischen Wahrnehmung zurückzuführen. Entweder haben Sie keine Ahnung von einer Idee, oder wenn Sie sie erst einmal verstanden haben, erscheint Ihnen die Idee selbst so peinlich offensichtlich, dass Sie keine Lust haben, sie laut auszusprechen.
Der Leser kann hier die Kraft der Zahlen beobachten, die erfolgreich angewendet werden kann, sogar auf Dinge, von denen man annimmt, dass sie keinen Regeln unterliegen. Es gibt sehr wenige Dinge, die wir wissen, die nicht auf eine mathematische Argumentation reduziert werden können, und wenn dies nicht der Fall ist, ist das ein Zeichen dafür, dass unser Wissen darüber sehr gering und verwirrend ist; und wo eine mathematische Begründung möglich ist, ist es genauso töricht, sich einer anderen zu bedienen, als nach etwas im Dunkeln zu tappen, wenn man eine Kerze neben sich hat.
Ich stelle mir vor, dass der Geist jedes Mal, wenn er eine mathematische Idee wahrnimmt, Kontakt mit Platons Welt der mathematischen Konzepte aufnimmt ... Wenn Mathematiker kommunizieren, wird dies dadurch ermöglicht, dass jeder einen direkten Weg zur Wahrheit hat, zu dem das Bewusstsein jedes Wesens in der Lage ist Nehmen Sie mathematische Wahrheiten direkt durch den Prozess des „Sehens“ wahr.
Der Schwerpunkt mathematischer Methoden scheint sich mehr in Richtung Kombinatorik und Mengenlehre zu verlagern – und weg vom Algorithmus der Differentialgleichungen, der die mathematische Physik dominiert.
Wir Menschen verfügen über vielfältige Fähigkeiten, die uns helfen, mathematische Inhalte wahrzunehmen und zu analysieren. Wir nehmen abstrakte Vorstellungen nicht nur durch Sehen wahr, sondern auch durch Hören, durch Fühlen, durch unseren Sinn für Körperbewegung und -position. Unsere geometrischen und räumlichen Fähigkeiten sind, wie auch bei anderen Hochleistungsaktivitäten, gut trainierbar. In der Mathematik können wir die Module unseres Geistes flexibel nutzen – auch metaphorisch. Ein ganzheitlicher Ansatz beim mathematischen Denken ist weitaus effektiver als der übliche Ansatz, bei dem nur Symbole manipuliert werden.
Wer behauptet, die mathematischen Wissenschaften sagen nichts über das Schöne oder Gute, der irrt. Denn diese Wissenschaften sagen und beweisen viel über sie; Wenn sie sie nicht ausdrücklich erwähnen, sondern Attribute beweisen, die ihre Ergebnisse oder Definitionen sind, ist es nicht wahr, dass sie uns nichts über sie sagen. Die Hauptformen der Schönheit sind Ordnung, Symmetrie und Bestimmtheit, die in besonderem Maße in den mathematischen Wissenschaften nachgewiesen werden.
Aus mathematischer Sicht ist es möglich, unendlichen Raum zu haben. Im mathematischen Sinne ist Raum Mannigfaltigkeit oder Kombinationen von Zahlen. Der physische Raum wird als dreidimensionales System bezeichnet. Es gibt das 4-dimensionale System, das 10-dimensionale System.
[Vor der Zeit von Benjamin Peirce kam niemandem in den Sinn, dass mathematische Forschung] zu den Dingen gehörte, für die es eine mathematische Abteilung gab. Heute ist es an allen führenden Universitäten üblich. Peirce stand allein – ein Berggipfel, dessen absolute Höhe vielleicht schwer zu messen war, der aber das ganze umliegende Land überragte.
Jeder Versuch, mathematische Methoden bei der Untersuchung chemischer Fragen anzuwenden, muss als zutiefst irrational und im Widerspruch zum Geist der Chemie angesehen werden ... Wenn die mathematische Analyse jemals einen herausragenden Platz in der Chemie einnehmen sollte – eine Abweichung, die glücklicherweise fast unmöglich ist – es würde zu einer raschen und weitreichenden Degeneration dieser Wissenschaft führen.
Sicher scheint, dass Pythagoras die Idee der mathematischen Logik entwickelt hat. Er erkannte, dass Zahlen unabhängig von der greifbaren Welt existieren und dass ihre Untersuchung daher nicht durch Wahrnehmungsungenauigkeiten beeinträchtigt war. Dies bedeutete, dass er Wahrheiten entdecken konnte, die unabhängig von Meinungen oder Vorurteilen waren und die absoluter waren als jedes bisherige Wissen.
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