Ein Zitat von Paul Halmos
...die Quelle aller großen Mathematik ist der Sonderfall, das konkrete Beispiel. In der Mathematik kommt es häufig vor, dass jedes Vorkommen eines scheinbar allgemeingültigen Konzepts im Wesentlichen dasselbe ist wie ein kleiner und konkreter Spezialfall.
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Der Kern der Mathematik besteht aus konkreten Beispielen und konkreten Problemen. Große allgemeine Theorien sind normalerweise nachträgliche Überlegungen, die auf kleinen, aber tiefgreifenden Einsichten basieren; die Erkenntnisse selbst stammen aus konkreten Sonderfällen.
Die Kunst der Mathematik besteht darin, den Spezialfall zu finden, der alle Keime der Allgemeinheit enthält.
Manche Leute denken, dass Mathematik ein ernstes Geschäft ist, das immer kalt und trocken sein muss; Aber wir glauben, dass Mathematik Spaß macht, und wir schämen uns nicht, dies zuzugeben. Warum sollte eine strikte Grenze zwischen Arbeit und Freizeit gezogen werden? Konkrete Mathematik ist voller ansprechender Muster; Die Manipulationen sind nicht immer einfach, aber die Antworten können erstaunlich attraktiv sein.
Der Sinn der Mathematik besteht darin, dass wir uns in ihr stets von der Einzelinstanz und sogar von jeder besonderen Art von Entitäten befreit haben. So gelten zum Beispiel keine mathematischen Wahrheiten nur für Fische, oder nur für Steine, oder nur für Farben. Solange man sich mit reiner Mathematik beschäftigt, befindet man sich im Bereich der vollständigen und absoluten Abstraktion. . . . Mathematik ist Denken, das sich im Bereich der vollständigen Abstraktion von jedem einzelnen Fall dessen bewegt, worüber es spricht.
Obwohl Determinanten und Matrizen im 19. Jahrhundert große Aufmerksamkeit erregten und Tausende von Arbeiten zu diesen Themen verfasst wurden, stellen sie keine große Innovation in der Mathematik dar ... Weder Determinanten noch Matrizen haben den Verlauf der Mathematik trotz ihrer Nützlichkeit tiefgreifend beeinflusst als kompakte Ausdrücke und trotz der Suggestivität von Matrizen als konkrete Gruppen für die Unterscheidung allgemeiner Theoreme der Gruppentheorie.
In der Wirtschaftswissenschaft gibt es mehr Irrtümer als in jeder anderen der Menschheit bekannten Wissenschaft. Das ist kein Zufall. Die inhärenten Schwierigkeiten des Fachs wären in jedem Fall groß genug, aber sie werden durch einen Faktor tausendfach vervielfacht, der beispielsweise in der Physik, Mathematik oder Medizin unbedeutend ist – das besondere Vorbringen egoistischer Interessen.
Mysterium ist ein unausweichlicher Bestandteil der Mathematik. Die Mathematik ist voller unbeantworteter Fragen, die weitaus zahlreicher sind als bekannte Theoreme und Ergebnisse. Es liegt in der Natur der Mathematik, mehr Probleme aufzuwerfen, als sie lösen kann. Tatsächlich kann die Mathematik selbst auf kleinen Wahrheitsinseln aufgebaut sein, die die Teile der Mathematik umfassen, die durch relativ kurze Beweise validiert werden können. Alles andere ist Spekulation.
Wer die Mathematik wegen ihrer Abstraktion kritisiert, geht völlig an der Sache vorbei. Durch Abstraktion funktioniert Mathematik. Wenn man sich zu sehr auf eine zu begrenzte Anwendung einer mathematischen Idee konzentriert, beraubt man den Mathematiker seiner wichtigsten Werkzeuge: Analogie, Allgemeingültigkeit und Einfachheit. Mathematik ist das Nonplusultra im Technologietransfer.
Sie können ewig weiterzählen. Die Antwort ist Unendlichkeit. Aber ehrlich gesagt glaube ich nicht, dass es mir jemals gefallen hat. Ich fand es immer etwas abstoßend. Ich bevorzuge die endliche Mathematik viel mehr als die unendliche Mathematik. Ich denke, dass es viel natürlicher, viel ansprechender und die Theorie viel schöner ist. Es ist sehr konkret. Es ist etwas, das man berühren und fühlen kann und mit dem man sich identifizieren kann. Für mich ist die Mathematik der Unendlichkeit bedeutungslos, weil sie abstrakter Unsinn ist.
CERN ist ein konkretes Beispiel für weltweite, internationale Zusammenarbeit – und ein konkretes Beispiel für Frieden. Der Ort, der meiner Meinung nach bessere Wissenschaftler, aber auch bessere Menschen hervorbringt.
Wir können ... nur die geometrischen Aspekte der Mathematik behandeln und werden zufrieden sein, wenn wir gezeigt haben, dass es kein Problem mit der Wahrheit geometrischer Axiome gibt und dass es in der Mathematik keine spezielle geometrische Visualisierung gibt.
[Mathematik] ist Sicherheit. Sicherheit. Wahrheit. Schönheit. Einblick. Struktur. Die Architektur. Ich sehe Mathematik, den Teil des menschlichen Wissens, den ich Mathematik nenne, als eine Sache – eine große, herrliche Sache. Ob Differentialtopologie, Funktionsanalyse oder homologische Algebra, es ist alles ein und dasselbe. ... Sie sind eng miteinander verbunden, sie sind alle Facetten derselben Sache. Diese Verbindung, diese Architektur ist sichere Wahrheit und Schönheit. Das ist es, was Mathematik für mich bedeutet.
Jeder Geschäftsmann ist für die Freiheit aller anderen, aber wenn es um ihn selbst geht, ist das eine andere Frage. Er ist immer der Sonderfall. Er sollte von der Regierung besondere Privilegien erhalten, einen Zoll, dies, das und das andere.
Man kann die Grundlagen und das Wesen der Mathematik nicht untersuchen, ohne sich mit der Frage der Operationen zu befassen, durch die die mathematische Aktivität des Geistes ausgeführt wird. Wenn man dies nicht berücksichtigt, würde man nur die Sprache studieren, in der die Mathematik dargestellt wird, und nicht das Wesen der Mathematik.
Physik ist im Wesentlichen eine intuitive und konkrete Wissenschaft. Die Mathematik ist nur ein Mittel, um die Gesetze auszudrücken, die Phänomene beherrschen.
Allein die Mathematik lässt uns die Grenzen unserer Intelligenz spüren. Denn wir können bei einem Experiment immer davon ausgehen, dass es unerklärlich ist, weil wir nicht alle Daten haben. In der Mathematik haben wir alle Daten, die im vollen Licht der Demonstration zusammengefasst sind, und dennoch verstehen wir sie nicht. Wir kehren immer wieder zur Betrachtung unseres menschlichen Elends zurück. Was Kraft im Verhältnis zu unserem Willen ist, das verhält sich in der undurchdringlichen Undurchsichtigkeit der Mathematik im Verhältnis zu unserer Intelligenz.
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