Ein Zitat von Roger Penrose
Ich stelle mir vor, dass der Geist jedes Mal, wenn er eine mathematische Idee wahrnimmt, Kontakt mit Platons Welt der mathematischen Konzepte aufnimmt ... Wenn Mathematiker kommunizieren, wird dies dadurch ermöglicht, dass jeder einen direkten Weg zur Wahrheit hat, zu dem das Bewusstsein jedes Wesens in der Lage ist Nehmen Sie mathematische Wahrheiten direkt durch den Prozess des „Sehens“ wahr.
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Mathematische Demonstrationen, die auf den unantastbaren Grundlagen der Geometrie und Arithmetik aufbauen, sind die einzigen Wahrheiten, die in den Geist des Menschen eindringen können, frei von jeglicher Unsicherheit; und alle anderen Diskurse tragen mehr oder weniger zur Wahrheit bei, je nachdem ihre Themen mehr oder weniger zur mathematischen Demonstration fähig sind.
Wir Menschen verfügen über vielfältige Fähigkeiten, die uns helfen, mathematische Inhalte wahrzunehmen und zu analysieren. Wir nehmen abstrakte Vorstellungen nicht nur durch Sehen wahr, sondern auch durch Hören, durch Fühlen, durch unseren Sinn für Körperbewegung und -position. Unsere geometrischen und räumlichen Fähigkeiten sind, wie auch bei anderen Hochleistungsaktivitäten, gut trainierbar. In der Mathematik können wir die Module unseres Geistes flexibel nutzen – auch metaphorisch. Ein ganzheitlicher Ansatz beim mathematischen Denken ist weitaus effektiver als der übliche Ansatz, bei dem nur Symbole manipuliert werden.
Wenn das System eine Struktur aufweist, die durch ein mathematisches Äquivalent, ein sogenanntes mathematisches Modell, dargestellt werden kann, und wenn das Ziel auch auf diese Weise quantifiziert werden kann, kann eine Berechnungsmethode entwickelt werden, um den besten Aktionsplan aus Alternativen auszuwählen. Eine solche Verwendung mathematischer Modelle wird als mathematische Programmierung bezeichnet.
... jeder der 24 Modi in der Ramanujan-Funktion entspricht einer physikalischen Schwingung einer Saite. Immer wenn die Saite ihre komplexen Bewegungen in der Raumzeit durch Aufspaltung und Neukombination ausführt, muss eine große Anzahl hochentwickelter mathematischer Identitäten erfüllt sein. Dies sind genau die von Ramanujan entdeckten mathematischen Identitäten.
Ein alter französischer Mathematiker sagte: „Eine mathematische Theorie gilt erst dann als vollständig, wenn man sie so klar dargelegt hat, dass man sie dem ersten Mann erklären kann, dem man auf der Straße begegnet.“ Diese Klarheit und leichte Verständlichkeit, die hier für eine mathematische Theorie gefordert wird, würde ich noch mehr für ein mathematisches Problem verlangen, wenn es perfekt sein soll; Denn was klar und leicht verständlich ist, zieht uns an, das Komplizierte stößt uns ab.
Die Gültigkeit mathematischer Sätze ist unabhängig von der tatsächlichen Welt – der Welt der existierenden Gegenstände –, die ihr logisch vorangeht und von deren Verschwinden unberührt bleiben würde. Mathematische Aussagen sind, wenn sie wahr sind, ewige Wahrheiten.
Die Konstrukte des mathematischen Geistes sind zugleich frei und notwendig. Der einzelne Mathematiker fühlt sich frei, seine Begriffe zu definieren und seine Axiome nach Belieben aufzustellen. Aber die Frage ist, ob er das Interesse seiner Mathematikkollegen für die Konstrukte seiner Vorstellungskraft wecken wird. Wir können uns des Gefühls nicht erwehren, dass bestimmte mathematische Strukturen, die durch die gemeinsamen Anstrengungen der mathematischen Gemeinschaft entstanden sind, den Stempel einer Notwendigkeit tragen, die von den Zufällen ihrer historischen Entstehung nicht berührt wird.
Das Mathematische ist der offensichtliche Aspekt der Dinge, in dem wir uns immer schon bewegen und nach dem wir sie überhaupt als Dinge und als solche erleben. Das Mathematische ist die grundlegende Haltung, die wir den Dingen gegenüber einnehmen, indem wir die Dinge als bereits gegeben betrachten und als gegeben betrachten, wie sie gegeben werden müssen und sollten. Daher ist das Mathematische die Grundvoraussetzung der Erkenntnis der Dinge.
Man könnte denken, dass dies bedeutet, dass imaginäre Zahlen nur ein mathematisches Spiel sind, das nichts mit der realen Welt zu tun hat. Aus der Sicht der positivistischen Philosophie lässt sich jedoch nicht bestimmen, was real ist. Alles, was man tun kann, ist herauszufinden, welche mathematischen Modelle das Universum, in dem wir leben, beschreiben. Es stellt sich heraus, dass ein mathematisches Modell, das die imaginäre Zeit einbezieht, nicht nur Effekte vorhersagt, die wir bereits beobachtet haben, sondern auch Effekte, die wir nicht messen konnten, an die wir aber dennoch für andere glauben Gründe dafür. Was ist also real und was ist imaginär? Ist die Unterscheidung nur in unserem Kopf?
Diese häufige und bedauerliche Tatsache, dass die Grundideen und Motivationen fast aller mathematischen Theorien nicht angemessen dargelegt werden, ist wahrscheinlich auf die binäre Natur der mathematischen Wahrnehmung zurückzuführen. Entweder haben Sie keine Ahnung von einer Idee, oder wenn Sie sie erst einmal verstanden haben, erscheint Ihnen die Idee selbst so peinlich offensichtlich, dass Sie keine Lust haben, sie laut auszusprechen.
Meine Gründe sind die gleichen wie für jede mathematische Vermutung: (1) Es ist eine legitime mathematische Möglichkeit, und (2) ich weiß es nicht.
Wir wissen, dass Mathematiker sich nicht mehr für die Logik interessieren als Logiker für die Mathematik. Die beiden Augen der Wissenschaft sind Mathematik und Logik; die mathematische Menge löscht das logische Auge, die logische Menge löscht das mathematische Auge; Jeder glaubt, dass er mit einem Auge besser sieht als mit zwei. Beachten Sie, dass De Morgan selbst nur mit einem Auge sehen konnte.
In der Mathematik geht es um Probleme, und Probleme müssen zum Mittelpunkt des mathematischen Lebens eines Schülers gemacht werden. So schmerzhaft und kreativ frustrierend es auch sein mag, Schüler und ihre Lehrer sollten jederzeit in den Prozess einbezogen werden – Ideen haben, keine Ideen haben, Muster entdecken, Vermutungen anstellen, Beispiele und Gegenbeispiele konstruieren, Argumente erarbeiten und die Arbeit des anderen kritisieren.
Als Kant die verschiedenen Wahrnehmungsweisen erörterte, durch die der menschliche Geist die Natur erfasst, kam er zu dem Schluss, dass er besonders dazu neigt, die Natur durch mathematische Brillen zu betrachten. So wie ein Mann mit einer blauen Brille nur eine blaue Welt sehen würde, dachte Kant, dass wir aufgrund unserer geistigen Voreingenommenheit dazu neigen, nur eine mathematische Welt zu sehen.
Wenn ich gebeten würde, mit einem Wort den Polarstern zu benennen, um den sich das mathematische Firmament dreht, die zentrale Idee, die den gesamten Korpus der mathematischen Lehre durchdringt, würde ich auf die Kontinuität verweisen, wie sie in unseren Vorstellungen vom Raum enthalten ist, und sie sagen ist das, es ist das!
Mathematisch Markieren Sie alle mathematischen Köpfe, die einzig und allein diesen Wissenschaften zugetan sind, wie einsam sie selbst sind, wie ungeeignet, mit anderen zusammenzuleben, und wie ungeeignet, in der Welt zu dienen.
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