Ein Zitat von Sophus Lie
Unter allen mathematischen Disziplinen ist die Theorie der Differentialgleichungen die wichtigste... Sie liefert die Erklärung all jener elementaren Erscheinungen der Natur, die mit der Zeit zu tun haben.
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Der Schwerpunkt mathematischer Methoden scheint sich mehr in Richtung Kombinatorik und Mengenlehre zu verlagern – und weg vom Algorithmus der Differentialgleichungen, der die mathematische Physik dominiert.
Die Hydrodynamik brachte komplexe Analysis, partielle Differentialgleichungen, Lie-Gruppen und Algebratheorie, Kohomologietheorie und wissenschaftliches Rechnen hervor.
Jeder, der das Thema versteht, wird zustimmen, dass selbst die Grundlage, auf der die wissenschaftliche Erklärung der Natur beruht, nur für diejenigen verständlich ist, die zumindest die Elemente der Differential- und Integralrechnung sowie der analytischen Geometrie erlernt haben.
Wenn Sie von Kontinuität ausgehen, können Sie den gut gefüllten mathematischen Werkzeugkasten stetiger Funktionen und Differentialgleichungen öffnen, die Sägen und Hämmer der Technik und Physik der letzten zwei Jahrhunderte (und der absehbaren Zukunft).
Wie Musik oder Kunst können mathematische Gleichungen einen natürlichen Verlauf und eine Logik haben, die bei einem Wissenschaftler seltene Leidenschaften hervorrufen können. Obwohl die Laie mathematische Gleichungen für eher undurchsichtig hält, ähnelt eine Gleichung für einen Wissenschaftler einem Satz in einer größeren Symphonie. Einfachheit. Eleganz. Dies sind die Eigenschaften, die einige der größten Künstler zu ihren Meisterwerken inspiriert haben, und es sind genau dieselben Eigenschaften, die Wissenschaftler dazu motivieren, nach den Naturgesetzen zu suchen. Wie ein Kunstwerk oder ein eindringliches Gedicht haben Gleichungen eine ganz eigene Schönheit und einen ganz eigenen Rhythmus.
Ja, wir müssen jetzt unsere Zeit so aufteilen, zwischen Politik und unseren Gleichungen. Aber für mich sind unsere Gleichungen weitaus wichtiger, denn Politik ist nur eine Frage der Gegenwart. Eine mathematische Gleichung bleibt für immer bestehen.
Die zugrunde liegenden physikalischen Gesetze, die für die mathematische Theorie eines großen Teils der Physik und der gesamten Chemie notwendig sind, sind somit vollständig bekannt, und die Schwierigkeit besteht nur darin, dass die genaue Anwendung dieser Gesetze zu Gleichungen führt, die viel zu kompliziert sind, um lösbar zu sein. Daher ist es wünschenswert, näherungsweise praktische Methoden zur Anwendung der Quantenmechanik zu entwickeln, die ohne großen Rechenaufwand zu einer Erklärung der Hauptmerkmale komplexer Atomsysteme führen können.
Die wertvollsten Aspekte unserer theoretischen Physik scheinen die mathematischen Beschreibungen zu sein, die es uns ermöglichen, Ereignisse vorherzusagen. Wir würden argumentieren, dass diese Gleichungen die einzigen Realitäten sind, deren wir uns in der Physik sicher sein können; Alle anderen Möglichkeiten, über die Situation nachzudenken, sind visuelle Hilfsmittel oder Gedächtnisstützen, die es Lebewesen mit unserer makroskopischen Erfahrung erleichtern, die Gleichungen zu verwenden und sich daran zu erinnern.
Das Wichtigste an der Stringtheorie ist, dass es sich um eine hochgradig mathematische Theorie handelt und die Mathematik sehr eng und konsistent zusammenhält. Es enthält in seiner Grundstruktur sowohl die Quantenmechanik als auch die Gravitationstheorie. Das sind große Neuigkeiten.
Der Standardlehrplan an weiterführenden Schulen konzentriert sich traditionell auf Physik und Ingenieurwissenschaften. Daher wurden Analysis, Differentialgleichungen und lineare Algebra schon immer am meisten betont, und das aus gutem Grund – sie sind sehr wichtig.
Zu wissen, was groß und was klein ist, ist wichtiger als die Fähigkeit, partielle Differentialgleichungen zu lösen.
Die Schwierigkeit bei der richtigen und angemessenen Beschreibung von Änderungen in kontinuierlich verformbaren Körpern liegt in der Methode der Differentialgleichungen. ... Sie drücken mathematisch das physikalische Konzept der zusammenhängenden Aktion aus. Einsteins Relativitätstheorie
Auch wenn man in der Relativitätstheorie Raum und Zeit anhand dieser vierdimensionalen geometrischen Struktur analysieren kann, ist eine der Dimensionen anders. Und das zeigt sich in den Gleichungen. Es hat ein anderes Vorzeichen – statt eines Plus wird es als negatives Minus angezeigt. Selbst in der Relativitätstheorie unterscheidet sich die Zeit vom Raum in Bezug auf die Art und Weise, wie sich diese Dimensionen in den Gleichungen manifestieren.
Wir sprechen davon, mit der Natur zu kommunizieren, aber wir kommunizieren mit uns selbst ... Die Natur liefert die Bedingungen – die Einsamkeit – und die Seele liefert die Unterhaltung.
Woher kommt der Drang, die Faszination, die Physiker, Mathematiker und vermutlich auch andere Wissenschaftler antreibt? Die Psychoanalyse legt nahe, dass es sich um sexuelle Neugier handelt. Sie beginnen mit der Frage, woher kleine Babys kommen, eins führt zum anderen und Sie bereiten Nitroglycerin vor oder lösen Differentialgleichungen. Diese Erklärung ist etwas irritierend und daher wohl grundsätzlich richtig.
Wenn das System eine Struktur aufweist, die durch ein mathematisches Äquivalent, ein sogenanntes mathematisches Modell, dargestellt werden kann, und wenn das Ziel auch auf diese Weise quantifiziert werden kann, kann eine Berechnungsmethode entwickelt werden, um den besten Aktionsplan aus Alternativen auszuwählen. Eine solche Verwendung mathematischer Modelle wird als mathematische Programmierung bezeichnet.
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