Ein Zitat von Stanislaw Ulam
Was genau ist Mathematik? Viele haben es versucht, aber niemandem ist es wirklich gelungen, die Mathematik zu definieren; es ist immer etwas anderes. Grob gesagt weiß man, dass es sich um Zahlen, Figuren, Beziehungen und Operationen handelt und dass sich die formalen Verfahren mit Axiomen, Beweisen, Lemmata und Theoremen seit der Zeit des Archimedes nicht geändert haben.
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Was genau ist Mathematik? Viele haben es versucht, aber niemandem ist es wirklich gelungen, die Mathematik zu definieren; es ist immer etwas anderes.
Mysterium ist ein unausweichlicher Bestandteil der Mathematik. Die Mathematik ist voller unbeantworteter Fragen, die weitaus zahlreicher sind als bekannte Theoreme und Ergebnisse. Es liegt in der Natur der Mathematik, mehr Probleme aufzuwerfen, als sie lösen kann. Tatsächlich kann die Mathematik selbst auf kleinen Wahrheitsinseln aufgebaut sein, die die Teile der Mathematik umfassen, die durch relativ kurze Beweise validiert werden können. Alles andere ist Spekulation.
Es ist fast genauso schwer, Mathematik zu definieren wie Wirtschaftswissenschaften, und man ist versucht, auf die berühmte alte Definition von Jacob Viner zurückzugreifen: „Wirtschaft ist das, was Ökonomen tun“ und zu sagen, dass Mathematik das ist, was Mathematiker tun. Ein großer Teil der Mathematik beschäftigt sich mit den formalen Beziehungen von Größen oder Zahlen.
Mathematik ist keine Arithmetik. Auch wenn die Mathematik möglicherweise aus den Praktiken des Zählens und Messens entstanden ist, handelt es sich in Wirklichkeit um logisches Denken, bei dem Theoreme – allgemeine und spezifische Aussagen – aus den Ausgangsannahmen abgeleitet werden können. Es ist vielleicht die reinste und strengste intellektuelle Aktivität und wird oft als Königin der Wissenschaften angesehen.
Für viele ist Mathematik eine Sammlung von Theoremen. Für mich ist Mathematik eine Sammlung von Beispielen; Ein Theorem ist eine Aussage über eine Sammlung von Beispielen und der Zweck des Beweises von Theoremen besteht darin, die Beispiele zu klassifizieren und zu erklären.
Lässt sich die Schwierigkeit einer Prüfung daran messen, wie viele Informationen ein Student zum Bestehen benötigt? Das mag in den enzyklopädischen Fächern nicht so absurd sein, aber in der Mathematik macht es keinen Sinn, da die Dinge aufeinander folgen und im Prinzip jeder, der die Grundlagen kennt, alles weiß. Alle Ergebnisse eines mathematischen Theorems liegen in den Axiomen der Mathematik in embryonaler Form vor, nicht wahr?
Die Mathematik hat zwei Gesichter: Sie ist die strenge Wissenschaft Euklids, aber sie ist auch etwas anderes. Die auf euklidische Weise dargestellte Mathematik erscheint als systematische, deduktive Wissenschaft; aber die entstehende Mathematik erscheint als experimentelle, induktive Wissenschaft. Beide Aspekte sind so alt wie die Wissenschaft der Mathematik selbst.
Das Kochbuch enthält eine detaillierte Beschreibung der Zutaten und Verfahren, jedoch keine Belege für seine Rezepte oder Begründungen für seine Rezepte; Der Beweis für den Pudding liegt im Essen. ... Mathematik kann nicht genau auf die gleiche Weise getestet werden wie ein Pudding; Wenn jede Art von Argumentation ausgeschlossen wird, kann ein Kalkülkurs leicht zu einer inkohärenten Bestandsaufnahme unverdaulicher Informationen werden.
Tatsächlich ist die Antwort auf die Frage „Was ist Mathematik?“ hat sich im Laufe der Geschichte mehrmals verändert ... Erst in den letzten etwa zwanzig Jahren entstand eine Definition der Mathematik, über die sich die meisten Mathematiker einig sind: Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern.
Man kann die Grundlagen und das Wesen der Mathematik nicht untersuchen, ohne sich mit der Frage der Operationen zu befassen, durch die die mathematische Aktivität des Geistes ausgeführt wird. Wenn man dies nicht berücksichtigt, würde man nur die Sprache studieren, in der die Mathematik dargestellt wird, und nicht das Wesen der Mathematik.
Wenn eine Wahrheit notwendig ist, kann der Grund dafür durch Analyse gefunden werden, das heißt, indem man sie in einfachere Ideen und Wahrheiten auflöst, bis man zu den primären gelangt. Auf diese Weise werden in der Mathematik spekulative Theoreme und praktische Kanons durch die Analyse auf Definitionen, Axiome und Postulate reduziert.
Die Mathematik wächst nicht durch eine monotone Zunahme der Zahl unzweifelhaft etablierter Theoreme, sondern durch die unaufhörliche Verbesserung von Vermutungen durch Spekulation und Kritik, durch die Logik von Beweisen und Widerlegungen.
Paul Erdos vertritt die Theorie, dass Gott ein Buch hat, das alle Theoreme der Mathematik mit ihren absolut schönsten Beweisen enthält, und wenn er seine besondere Wertschätzung für einen Beweis zum Ausdruck bringen möchte, ruft er aus: „Das ist aus dem Buch!“
Es ist sehr bedauerlich, dass Fermat, der die Zahlentheorie mit so großem Erfolg pflegte, uns nicht die Beweise der von ihm entdeckten Theoreme hinterlassen hat. Tatsächlich haben die Herren Euler und Lagrange, die diese Art der Forschung nicht verachtet haben, die meisten dieser Theoreme bewiesen und sogar die isolierten Sätze von Fermat durch umfangreiche Theorien ersetzt. Aber es gibt mehrere Beweise, die sich ihren Bemühungen widersetzt haben.
Wie ein Hocker, der drei Beine braucht, um stabil zu stehen, braucht der Mathematikunterricht drei Komponenten: gute Probleme, von denen viele mehrstufige sind, viel technisches Geschick und dann eine umfassendere Sichtweise, die die abstrakte Natur der Mathematik und Beweise beinhaltet . Man erreicht nicht alle davon auf einmal, aber ein gutes Mathematikprogramm hat sie zum Ziel und macht auf allen Ebenen schrittweise Fortschritte.
Das Produkt der Mathematik ist Klarheit und Verständnis. Keine Theoreme für sich. ... Kurz gesagt, Mathematik existiert nur in einer lebendigen Gemeinschaft von Mathematikern, die Verständnis verbreitet und alten und neuen Ideen Leben einhaucht.
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