Цитата Джорджа Полиа
В «commentatio» (записке, представленной Российской академии), в которой впервые была опубликована его теорема о многогранниках (о числе граней, ребер и вершин), Эйлер не приводит доказательства. Вместо доказательства он предлагает индуктивный аргумент: он проверяет отношение в различных частных случаях. Нет никаких сомнений в том, что он также открыл эту теорему, как и многие другие свои результаты, индуктивно.
Связанные цитаты
Во многих случаях скучное доказательство может быть дополнено геометрическим аналогом, настолько простым и красивым, что истинность теоремы видна почти с первого взгляда.
Если вам нужно доказать теорему, не торопитесь. Прежде всего, полностью поймите, что говорит теорема, постарайтесь ясно увидеть, что она означает. Затем проверьте теорему; это может быть ложным. Исследуй последствия, проверяй столько частных случаев, сколько нужно, чтобы убедить себя в истине. Когда вы убедились, что теорема верна, вы можете приступить к ее доказательству.
Небеса возмущены моей гордыней; мое доказательство [теоремы о четырех красках] также ошибочно.
Мы переделываем природу актом открытия, в стихотворении или в теореме. И великая поэма, и глубокая теорема новы для каждого читателя, и тем не менее являются его собственным опытом, потому что он сам их воссоздает. Они являются признаками единства в разнообразии; и в то мгновение, когда ум схватывает это для себя, в искусстве или в науке, сердце замирает.
Удачная, но недоказанная гипотеза может иметь гораздо большее значение для математики, чем доказательство многих уважаемых теорем.
Этот пропуск является еще одним важным моментом. Это следует делать всякий раз, когда доказательство кажется слишком сложным или когда теорема или целый абзац не нравятся читателю. В большинстве случаев он сможет продолжить, а позже может вернуться к пропущенным частям.
Цель определения состоит в том, чтобы представить математический объект. Цель теоремы состоит в том, чтобы сформулировать некоторые из ее свойств или взаимосвязей между различными объектами. Цель доказательства состоит в том, чтобы сделать такое утверждение убедительным, представляя рассуждение, разбитое на маленькие шаги, каждый из которых обосновывается как «элементарный» убедительный аргумент.
Ученый должен доверять своему предмету на 95 процентов. Он должен, потому что он не может провести все эксперименты, поэтому ему приходится доверять экспериментам, которые проводили все его коллеги и предшественники. Тогда как математик не должен ничего принимать на веру. Он не верит ни в одну доказанную теорему, пока сам не проверит доказательство, и поэтому знает весь свой предмет с нуля. Он абсолютно на 100 процентов уверен в этом. И это придает ему невероятную уверенность и высокомерие, которых нет у ученых.
Человек без надлежащего сочувствия или чувства подобен андроиду, созданному так, что его не хватает либо намеренно, либо по ошибке. Мы имеем в виду, в основном, кого-то, кто не заботится о судьбе, жертвами которой становятся его собратья; он стоит отстраненно, как зритель, разыгрывая своим безразличием теорему Джона Донна о том, что «Ни один человек не является островом», но придавая этой теореме поворот: то, что является ментальным и моральным островом, не является человеком.
Изящность математической теоремы прямо пропорциональна количеству независимых идей, которые можно увидеть в теореме, и обратно пропорциональна усилиям, которые требуются, чтобы увидеть их.
Я думаю, что если ваше дело о сроке пребывания в должности зависит от вашего доказательства того, что вы считали математической теоремой, а предложенная теорема оказывается ложной непосредственно перед вашим решением о продлении срока пребывания в должности, и вы очень сильно хотите получить срок пребывания в должности, то в некотором смысле это совершенно Понятно и разумно с вашей стороны желать, чтобы предложенная теорема была истинной и доказуемой, даже если это логически невозможно.
Слишком много знаний может быть плохой вещью. Я пришел к теореме Семереди, доказав результат о квадратах, который уже доказал Эйлер, и я полагался на «очевидный» факт об арифметических прогрессиях, который в то время не был доказан. Но это побудило меня попытаться доказать ранее недоказанное утверждение об арифметических прогрессиях, что в конечном итоге привело к теореме Семереди.
Доказательство есть доказательство. Что за доказательство? Это доказательство. Доказательство есть доказательство. И когда у вас есть хорошее доказательство, это потому, что оно доказано.
То, что Бог провозглашает, верующее сердце исповедует без необходимости дополнительных доказательств. В самом деле, искать доказательства — значит допустить сомнение, а получить доказательство — значит сделать веру излишней.
Я вынужден вставить несколько замечаний по очень сложной теме: доказательству и его важности в математике. Все физики и многие вполне респектабельные математики пренебрежительно относятся к доказательствам. Я слышал, например, от профессора Эддингтона, что доказательство, как его понимают чистые математики, на самом деле совершенно неинтересно и неважно и что тот, кто действительно уверен, что нашел что-то хорошее, не должен тратить время на поиски доказательства.
После элементарных требований к жизни и воспроизведению человек больше всего хочет оставить о себе какую-нибудь запись, возможно, доказательство того, что он действительно существовал. Он оставляет свои доказательства на дереве, на камне или на жизнях других людей. Это глубокое желание существует в каждом, от мальчика, который пишет грязные слова в общественном туалете, до Будды, запечатлевшего свой образ в сознании расы. Жизнь такая нереальная. Я думаю, что мы серьезно сомневаемся в том, что существуем, и пытаемся доказать, что существуем.
Связанные авторы
Ада Лавлейс Цитаты
Английский
Математик
Цитаты Альфреда Норта Уайтхеда
Английский
Математик
Бенуа Мандельброт Цитаты
Французский
Математик
Карл Фридрих Гаусс Цитаты
Немецкий
Математик
Цитаты Чарльза Бэббиджа
Английский
Математик
Цитаты Дэвида Гилберта
Немецкий
Математик
Цитаты Г. Х. Харди
британский
Математик
Ханна Фрай Цитаты
Английский
Математик
Цитаты Анри Пуанкаре
Французский
Математик
Исаак Бэрроу Цитаты
Английский
Математик
Исаак Ньютон Цитаты
Английский
Математик
Цитаты Норберта Винера
американский
Математик
Цитаты Пифагора
греческий
Математик
Цитаты Рене Декарта
Французский
Математик
Цитаты Сеймура Пейперта
американский
Математик
Цитаты Теренса Тао
австралийский
Математик