892 лучших математических цитаты и поговорки

Природа, кажется, пользуется простыми математическими представлениями законов симметрии. Когда кто-то делает паузу, чтобы рассмотреть элегантность и прекрасное совершенство задействованных математических рассуждений и сопоставить их со сложными и далеко идущими физическими следствиями, глубокое чувство уважения к силе законов симметрии никогда не перестает развиваться.

Проблема современного кино в том, что это математическая задача. Люди могут читать фильм математически; они знают, когда придет то или другое; примерно через 30 минут все закончится и будет конец. Так фильм стал математическим решением. И это скучно, потому что искусство не математическое.

Конструкты математического ума одновременно свободны и необходимы. Отдельный математик чувствует себя свободным определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы по своему усмотрению. Но вопрос в том, заинтересует ли он своего коллегу-математика конструкциями своего воображения. Мы не можем отделаться от ощущения, что определенные математические структуры, развившиеся благодаря объединенным усилиям математического сообщества, несут на себе печать необходимости, не затронутой случайностями их исторического рождения.

... математическое знание ... на самом деле является просто словесным знанием. «3» означает «2+1», а «4» означает «3+1». Отсюда следует (хотя доказательство длинное), что «4» означает то же, что и «2+2». Таким образом, математическое знание перестает быть таинственным.

Справедливость математических утверждений не зависит от актуального мира — мира существующих предметов — логически предшествует ему и осталась бы неизменной, если бы он исчез из бытия. Математические утверждения, если они верны, являются вечными истинами.

Мои доводы те же, что и для любой математической гипотезы: (1) это законная математическая возможность, и (2) я не знаю.

Большой теоретический интерес представляют классы задач, для которых известны и не известны хорошие алгоритмы соответственно. [...] Я предполагаю, что для задачи коммивояжера не существует хорошего алгоритма. Мои доводы те же, что и для любой математической гипотезы: (1) это законная математическая возможность, и (2) я не знаю.

Я полагаю, что никто, кто знаком либо с математическими достижениями в других областях, либо с целым рядом особых биологических условий, которые необходимо учитывать, никогда не догадался бы, что все можно суммировать в одной математической формуле, какой бы сложной она ни была.

Вот стеганая книга о математических практиках, каждый патч чудесно оформлен. Отчасти приглашение к теории чисел, отчасти автобиография, отчасти социология математического обучения, «Математика без извинений» знакомит нас с современной математикой как с живым, активным исследованием реальных людей. Любой, кто хотел бы получить разнообразный, культурный и проницательный взгляд на современную математику, не мог бы найти лучшего места для занятий.

Математический вопрос: «Почему?» Это всегда почему. И единственный способ, которым мы знаем, как ответить на такие вопросы, — это придумать с нуля эти нарративные аргументы, которые это объясняют. Итак, что я хочу сделать с помощью этой книги, так это открыть этот мир математической реальности, существ, которых мы там создаем, вопросы, которые мы там задаем, способы, которыми мы тыкаем и подталкиваем (известные как проблемы), и как мы можем возможно, создать эти элегантные стихи о причинах.

[До Бенджамина Пирса никому и в голову не приходило, что математические исследования] были одной из тех вещей, для которых существовали математические факультеты. Сегодня это обычное дело во всех ведущих вузах. Пирс стоял один — горная вершина, абсолютную высоту которой трудно измерить, но которая возвышалась над всей окружающей местностью.

Математика есть та очевидная сторона вещей, внутри которой мы всегда уже движемся и согласно которой мы переживаем их как вещи вообще и как таковые. Математика есть та фундаментальная позиция, которую мы занимаем по отношению к вещам, посредством которой мы принимаем вещи как уже данные нам и как они должны и должны быть даны. Следовательно, математическое есть основная предпосылка познания вещей.

Науки не пытаются объяснить, они почти даже не пытаются интерпретировать, они в основном создают модели. Под моделью понимается математическая конструкция, которая с добавлением определенных словесных интерпретаций описывает наблюдаемые явления. Обоснование такой математической конструкции состоит исключительно в том, что она должна работать, то есть правильно описывать явления из достаточно широкой области.

Те, кто утверждает, что математические науки ничего не говорят о прекрасном или хорошем, ошибаются. Ибо эти науки многое говорят и доказывают о них; если они прямо не упоминают о них, а доказывают атрибуты, являющиеся их результатами или определениями, то неверно, что они ничего о них не говорят. Главными формами красоты являются порядок, симметрия и определенность, которые математические науки демонстрируют в особой степени.

Условности общности и математической элегантности могут быть такими же препятствиями для достижения и распространения знаний, как и довольство частностями и литературной расплывчатостью... Вполне может быть, что неряшливое и литературное пограничье между экономикой и социологией будет самым плодотворным зданием. в ближайшие годы и что математическая экономика останется слишком безупречной в своем совершенстве, чтобы быть очень плодотворной.

Изучая математику или просто используя математический принцип, если мы получаем неправильный ответ в виде алгебраического уравнения, мы не чувствуем внезапно, что существует антиматематический принцип, который заманивает нас неправильными ответами.

С математической точки зрения возможно иметь бесконечное пространство. В математическом смысле пространство есть многообразие или комбинации чисел. Физическое пространство известно как трехмерная система. Есть 4-х мерная система, 10-ти мерная система.

Кажется совершенно ясным, что экономика, если она вообще должна быть наукой, должна быть математической наукой. Существует большое предубеждение против попыток внедрить методы и язык математики в какую-либо отрасль моральных наук. Большинство людей, по-видимому, считают, что физические науки составляют надлежащую область математического метода, а моральные науки требуют какого-то другого метода — я не знаю, какого.

Мы знаем, что математики заботятся о логике не больше, чем логики о математике. Два глаза науки — математика и логика; математический набор высвечивает логический глаз, логический набор высвечивает математический глаз; каждый считает, что одним глазом он видит лучше, чем двумя. Обратите внимание, что сам Де Морган видел только одним глазом.

Физика является математической не потому, что мы так много знаем о физическом мире, а потому, что мы знаем так мало; мы можем открыть только его математические свойства.

Этот распространенный и прискорбный факт отсутствия адекватного представления основных идей и мотивов почти любой математической теории, вероятно, связан с бинарной природой математического восприятия. Либо вы не имеете ни малейшего представления об идее, либо, как только вы ее поняли, сама идея кажется настолько смущающе очевидной, что вам не хочется произносить ее вслух.

Фурье — математическая поэма.

Физики-теоретики принимают потребность в математической красоте как акт веры... Например, главная причина, по которой теория относительности так общепринята, — это ее математическая красота.

Математика – это логический метод. . . . Математические предложения не выражают мыслей. В жизни нам никогда не нужны математические суждения, но мы пользуемся математическими суждениями только для того, чтобы вывести из суждений, не принадлежащих математике, другие, которые точно так же не принадлежат математике.

[Ссылаясь на математическую теорию теплопроводности Фурье] ... великая математическая поэма Фурье.

Я полагаю, что всякий раз, когда разум воспринимает математическую идею, он вступает в контакт с платоновским миром математических понятий... Когда математики общаются, это становится возможным благодаря тому, что каждый имеет прямой путь к истине, сознание каждого существа в состоянии воспринимать математические истины напрямую, через процесс «видения».

Всякую попытку использовать математические методы при изучении химических вопросов следует считать глубоко иррациональной и противоречащей духу химии... если математический анализ когда-либо займет видное место в химии - заблуждение, которое, к счастью, почти невозможно, - это вызвало бы быстрое и повсеместное вырождение этой науки.

Можно подумать, что это означает, что мнимые числа — это просто математическая игра, не имеющая ничего общего с реальным миром. Однако с точки зрения позитивистской философии нельзя определить, что реально. Все, что можно сделать, это выяснить, какие математические модели описывают Вселенную, в которой мы живем. Оказывается, математическая модель, включающая мнимое время, предсказывает не только эффекты, которые мы уже наблюдали, но также и эффекты, которые мы не смогли измерить, но тем не менее верим в другие. причины. Так что же реально, а что воображаемо? Различие только в наших умах?

Что отличает математическую модель, скажем, от стихотворения, песни, портрета или любого другого вида «модели», так это то, что математическая модель представляет собой образ или картину реальности, нарисованную логическими символами, а не словами, звуками или акварелью. .

Мы, люди, обладаем широким спектром способностей, которые помогают нам воспринимать и анализировать математическое содержание. Мы воспринимаем абстрактные понятия не только зрением, но и слухом, осязанием, ощущением движения и положения тела. Наши геометрические и пространственные навыки хорошо поддаются тренировке, как и в других высокопроизводительных видах деятельности. В математике мы можем гибко использовать модули нашего разума — даже метафорически. Целостный подход к математическому мышлению гораздо более эффективен, чем обычный подход, манипулирующий только символами.

На самом деле математическое доказательство показывает, что определенные выводы, такие как иррациональность , следуют из определенных предпосылок, таких как принцип математической индукции. Справедливость этих предпосылок — совершенно независимый вопрос, который можно с уверенностью предоставить философам.

Многие люди питают предубеждение против математического языка, возникающее из-за смешения идей математической науки и точной науки. ...на самом деле точной науки не существует.

Исследователь в своем стремлении выразить основные законы Природы в математической форме должен стремиться главным образом к математической красоте. Он должен принимать во внимание простоту в подчиненном порядке по отношению к красоте ... Часто бывает, что требования простоты и красоты совпадают, но там, где они противоречат друг другу, последнее должно иметь приоритет.

В математическом анализе мы называем х неопределенной частью линии а; остальную часть мы называем не у, как в обычной жизни, а ах. Следовательно, математический язык имеет большие преимущества перед обычным языком.

Мой брат гений. Когда мы ездили в Италию, его показывали по местному телеканалу как вундеркинда, умеющего решать очень сложные математические уравнения. Ему было всего семь или восемь лет, но он мог решать математические задачи для четырнадцатилетних.

Подобно музыке или искусству, математические уравнения могут иметь естественную последовательность и логику, которые могут пробудить в ученом редкие страсти. Хотя непрофессионалы считают математические уравнения довольно непрозрачными, для ученого уравнение очень похоже на часть большой симфонии. Простота. Элегантность. Именно эти качества вдохновили некоторых из величайших художников на создание своих шедевров, и точно такие же качества побуждают ученых искать законы природы. Подобно произведению искусства или запоминающейся поэме, уравнения обладают собственной красотой и ритмом.

... каждая из 24 мод в функции Рамануджана соответствует физической вибрации струны. Всякий раз, когда струна совершает свои сложные движения в пространстве-времени путем расщепления и рекомбинации, должно выполняться большое количество очень сложных математических тождеств. Именно такие математические тождества открыл Рамануджан.

Из поколения в поколение полевые гиды по растениям и животным оттачивали удовольствие от созерцания, открывая наш разум для понимания. Теперь Джон Адам заполнил пробел в этом почтенном жанре своими кропотливыми, но простыми математическими описаниями знакомых мирских физических явлений. Это не что иное, как математический справочник по неживой природе.

Как человек может родиться с математическими способностями, и, тренируя эти способности год за годом, он может безмерно увеличить свои математические способности, так и человек может родиться с определенными способностями, принадлежащими душе, которые он может развить путем обучения. и по дисциплине.

Теория струн имеет долгую и замечательную историю. Он возник как метод, чтобы попытаться понять сильную силу. Это был вычислительный механизм, подход к математической задаче, который был слишком сложным, и это был многообещающий путь, но это была только техника. Это была скорее математическая техника, чем теория сама по себе.

Мы увидим, что математическое рассмотрение предмета [электричества] было значительно развито писателями, которые выражают себя в терминах теории «Двух Жидкостей». Их результаты, однако, были полностью выведены из данных, которые могут быть доказаны экспериментально и которые, следовательно, должны быть верными, независимо от того, принимаем ли мы теорию двух жидкостей или нет. Таким образом, экспериментальная проверка математических результатов не является доказательством ни за, ни против особых доктрин этой теории.

Математика не только реальна, но и единственная реальность. То есть вся Вселенная состоит из материи, это очевидно. А материя состоит из частиц. Он состоит из электронов, нейтронов и протонов. Итак, вся Вселенная состоит из частиц. Из чего сделаны частицы? Они не сделаны ни из чего. Единственное, что можно сказать о реальности электрона, — это привести его математические свойства. Так что в каком-то смысле материя полностью растворилась, и осталась только математическая структура.

Я понял, что если мы собираемся иметь теорию о том, что происходит, например, в природе, в конечном счете должно существовать какое-то правило, по которому природа действует. Но вопрос в том, должно ли это правило соответствовать чему-то вроде математического уравнения, чему-то, что мы как бы создали в нашей человеческой математике? И я понял, что теперь, с нашим пониманием вычислений, компьютерных программ и так далее, на самом деле существует гораздо большая вселенная возможных правил для описания мира природы, чем просто математические уравнения.

Старый французский математик сказал: «Математическая теория не считается завершенной, пока вы не сделаете ее настолько ясной, что сможете объяснить ее первому встречному на улице». Этой ясности и легкости понимания, на которых здесь настаивают для математической теории, я должен еще больше требовать от математической задачи, если она должна быть совершенной; ибо ясное и легко постижимое привлекает, сложное отталкивает.

Акцент на математических методах, по-видимому, больше смещается в сторону комбинаторики и теории множеств, а не в сторону алгоритма дифференциальных уравнений, который доминирует в математической физике.

«Серьезность» математической теоремы заключается не в ее практических следствиях, которыми обычно можно пренебречь, а в значении математических идей, которые она связывает.

Математические демонстрации, построенные на неприступных основах геометрии и арифметики, являются единственными истинами, которые могут проникнуть в разум человека, лишенного всякой неопределенности; и все другие дискурсы более или менее связаны с Истиной в зависимости от того, насколько их Субъекты более или менее способны к Математической Демонстрации.

Не только в геометрии, но в еще более поразительной степени в физике становилось все более и более очевидным, что, как только нам удается полностью раскрыть законы природы, управляющие реальностью, мы обнаруживаем, что они могут быть выражены математическими соотношениями удивительных явлений. простота и архитектурное совершенство. Мне кажется, что одной из главных целей обучения математике является развитие способности воспринимать эту простоту и гармонию.

Кант, обсуждая различные способы восприятия, с помощью которых человеческий разум постигает природу, пришел к выводу, что он особенно склонен смотреть на природу через математические очки. Точно так же, как человек в голубых очках видел бы только голубой мир, так и Кант полагал, что с нашим умственным уклоном мы склонны видеть только математический мир.

Формальная логика — это математика, и есть такие философы, как Витгенштейн, очень математические, но на самом деле они занимаются математикой — они не говорят о вещах, которые повлияли на информатику; это математическая логика.

Кто из нас не был бы рад приподнять завесу, за которой скрыто будущее; бросить взгляд на ближайшие успехи нашей науки и на тайны ее развития в грядущие века? К каким конкретным целям будут стремиться ведущие математические умы грядущих поколений? Какие новые методы и новые факты в широкой и богатой области математической мысли откроют новые века?

Мы уверены, что внеземное послание представляет собой своего рода математический код. Вероятно, числовой код. Математика — это единственный язык, который у нас может быть общим с другими формами разумной жизни во Вселенной. Насколько я понимаю, нет реальности более независимой от нашего восприятия и более верной самой себе, чем математическая реальность.

Можно показать, что любую вселенную, содержащую несколько объектов, можно сплести в некотором роде математической паутиной. Тот факт, что наша Вселенная поддается математическому анализу, не имеет большого философского значения.

Для выполнения любой важной работы по физике требуются очень хорошие математические способности и способности. Некоторую работу в приложениях можно сделать и без этого, но сильно не вдохновит. Если вы должны удовлетворить свое «личное любопытство к тайнам природы», что произойдет, если эти тайны окажутся законами, выраженными в математических терминах (как они и оказываются)? Вы не можете понять физический мир каким-либо глубоким или удовлетворительным образом, не применяя с легкостью математические рассуждения.

Читатель может здесь наблюдать Силу Чисел, которую можно успешно применять даже к тем вещам, которые, как можно было бы представить, не подчиняются никаким Правилам. Есть очень мало вещей, которые мы знаем, которые не могут быть сведены к математическому рассуждению, и если они не могут, это признак того, что наше знание о них очень мало и запутанно; а там, где можно иметь математическое рассуждение, пользоваться каким-либо другим так же глупо, как искать что-то в темноте, когда рядом с тобой стоит Свеча.

Если система имеет структуру, которая может быть представлена ​​математическим эквивалентом, называемым математической моделью, и если цель может быть также количественно определена таким образом, то может быть разработан некоторый вычислительный метод для выбора наилучшего плана действий среди альтернатив. Такое использование математических моделей называется математическим программированием.

Математические Отметьте все математические головы, которые целиком и полностью склоняются к этим наукам, как одиноки они сами, как неспособны жить с другими и как неспособны служить миру.

Но по ходу работы мне постоянно вспоминалась басня о слоне и черепахе. Сконструировав слона, на котором мог бы покоиться математический мир, я обнаружил, что слон шатается, и приступил к конструированию черепахи, чтобы слон не упал. Но черепаха была не более надежна, чем слон, и после примерно двадцати лет очень тяжелого труда я пришел к выводу, что больше ничего не могу сделать для того, чтобы математические знания стали несомненными.

Если бы меня попросили назвать одним словом полярную звезду, вокруг которой вращается математический небосвод, центральную идею, которая пронизывает весь корпус математической доктрины, я бы указал на Непрерывность, содержащуюся в наших представлениях о пространстве, и сказал бы: это, это это!

Хотя математическая нотация, несомненно, обладает правилами разбора, они довольно расплывчаты, иногда противоречивы и редко четко сформулированы. [...] Распространение языков программирования показывает не больше единообразия, чем математика. Тем не менее, языки программирования открывают другую перспективу. [...] Из-за их применения к широкому кругу тем, строгой грамматики и строгой интерпретации языки программирования могут дать новое понимание математических обозначений.