70 лучших цитат и поговорок о теоремах

Люди излагают математические теоремы в осажденных городах, ведут метафизические споры в камерах смертников, шутят на эшафоте, обсуждают новую поэму, продвигаясь к стенам Квебека, и причесываются в Фермопилах. Это не щегольство; это наша природа.

Мы часто слышим, что математика состоит в основном из «доказательства теорем». Работа писателя в основном состоит в том, чтобы «писать предложения»?

Теоремы — это весело, особенно когда вы их доказываете, но потом удовольствие исчезает. Нас удерживают нерешенные проблемы.

Когда истина необходима, причину ее можно найти путем анализа, то есть путем разложения ее на более простые идеи и истины до тех пор, пока не будут достигнуты первичные. Именно так в математике умозрительные теоремы и практические каноны сводятся анализом к определениям, аксиомам и постулатам.

Абстрактные идеи, такие как равенство и свобода, обладают ложной прозрачностью и могут быть использованы для вывода приятных теорем в манере Жан-Жака Руссо или Джона Ролза.

Вызывает большое сожаление, что Ферма, с таким успехом разрабатывавший теорию чисел, не оставил нам доказательств открытых им теорем. По правде говоря, господа Эйлер и Лагранж, не пренебрегавшие такого рода исследованиями, доказали большинство этих теорем и даже заменили отдельные положения Ферма развернутыми теориями. Но есть несколько доказательств, которые противостоят их усилиям.

Продукт математики — ясность и понимание. Не теоремы сами по себе. ... Короче говоря, математика существует только в живом сообществе математиков, которое распространяет понимание и вдыхает жизнь в идеи, как старые, так и новые.

Меньше зависит от выбора слов, чем от того, будет ли их введение оправдано многозначительными теоремами.

Есть три признака старости. Первым признаком является то, что человек забывает свои теоремы. Второй признак — он забывает застегнуть молнию. Третьим признаком является то, что он забывает застегнуть молнию.

Филлис объяснила ему, пытаясь раскрыть свое более глубокое «я»: «Разве ты не находишь это таким прекрасным, математика? Подобно бесконечному листу золотых цепей, каждое звено соединено с предыдущим, теоремы и функции, одно делает неизбежным следующее. Это музыка, висящая посреди пространства, ничего не значащая, кроме самой себя, и такая трогательная...

В продвинутом анализе очень мало теорем, которые были бы продемонстрированы логически обоснованным образом. Повсюду встречается этот жалкий способ вывода от частного к общему, и чрезвычайно странно, что такой прием привел к столь немногим из так называемых парадоксов.

Без компьютеров мы застрянем только на доказательстве теорем, имеющих короткие доказательства.

Я убежден, что этот метод [для вычисления объема шара] будет немало полезен для математики. Ибо я предвижу, что, как только она будет понята и установлена, она будет использована для открытия других теорем, которые еще не пришли мне в голову, другими математиками, ныне живущими или еще не родившимися.

В отличие от математических теорем, научные результаты не могут быть доказаны. Их можно только проверять снова и снова, пока только дурак им не поверит. Я не могу доказать, что электроны существуют.......... если вы в них не верите, у меня есть высоковольтный электрошокер, который я готов использовать в качестве аргумента в их защиту. Электроны говорят сами за себя.

В науке каждый ответ на вопрос ведет к еще 10. Мне нравится, что наука никогда не может быть закончена. С юных лет люди думают: «Наука — это сложно и скучно». Мы не говорим детям: «Да, ты должен выучить эти формулы и теоремы, но тогда ты будешь изучать ядерные реакции и звезды».

Математика давалась мне легко, но меня всегда больше интересовало, что теоремы говорят о мире, чем их доказательство.

Три теоремы психоисторической количественной оценки: Изучаемое население не обращает внимания на существование науки психоистории. Рассматриваемые периоды времени находятся в районе 3 поколений. Население должно исчисляться миллиардами (± 75 миллиардов), чтобы статистическая вероятность имела психоисторическую достоверность.

Что такое математика? Многие пытались, но никому не удалось дать определение математике; это всегда что-то другое. Грубо говоря, люди знают, что она имеет дело с числами, фигурами, отношениями, операциями и что ее формальные процедуры, включающие аксиомы, доказательства, леммы, теоремы, не изменились со времен Архимеда.

Я относился к большей части своей школьной работы как к рутине, а не как к интеллектуальному приключению. Скука была облегчена несколькими курсами, которые кажутся качественно разными. Геометрия была первым захватывающим курсом, который я помню. Вместо того чтобы запоминать факты, нас просили мыслить четкими логическими шагами. Начав с нескольких интуитивных постулатов, можно было вывести далеко идущие последствия, и я сразу же занялся доказательством теорем.

Я думаю, что математика может выиграть, если признает, что создание хороших моделей так же важно, как и доказательство глубоких теорем.

Все теоремы имеют три имени: французское имя, немецкое имя и русское имя, причем каждая национальность заявила, что открыла ее первой. Время от времени встречается и английское имя, но это всегда Ньютон.

Он знал наизусть каждую последнюю трещинку на ее поверхности. Он сделал карты потолка и отправился исследовать их; реки, острова и континенты. Он играл в угадайку и находил спрятанные предметы; лица, птицы и рыбы. Он сделал математические расчеты и заново открыл для себя свое детство; теоремы, углы и треугольники. Практически ничего другого он не мог сделать, кроме как смотреть на него. Он ненавидел это зрелище.

Если бы только у меня были Теоремы! Тогда я должен найти доказательства достаточно легко.

Я нашел очень большое количество чрезвычайно красивых теорем.

У Бога есть Большая Книга, здесь перечислены прекрасные доказательства математических теорем.

Для многих математика — это набор теорем. Для меня математика — это набор примеров; теорема - это утверждение о наборе примеров, а цель доказательства теорем - классифицировать и объяснить примеры.

Особенностью высшей арифметики являются большие трудности, с которыми часто сталкиваются при доказательстве простых общих теорем, совершенно естественно подсказанных числовыми данными.

Можно научиться находить неизвестные в уравнениях, рисовать равноотстоящие линии и демонстрировать теоремы, но в реальной жизни нечего позиционировать, вычислять или угадывать.

Я сравниваю арифметику с деревом, которое разворачивается вверх во множестве приемов и теорем, а корень уходит в глубину.

Если бы все разумные существа во вселенной исчезли, остался бы смысл, в котором математические объекты и теоремы продолжали бы существовать, даже если бы не было никого, кто мог бы писать или говорить о них. Огромные простые числа оставались бы простыми, даже если бы никто не доказал их простоту.

Теорема о среднем значении — повивальная бабка исчисления — сама по себе не очень важная или привлекательная, но часто помогающая доставить другие теоремы, имеющие большое значение.

Итак, одно из моих убеждений, одна из моих теорем, которую я выработал за эти годы, состоит в том, что когда дело доходит до демократов и средств массовой информации, они всегда скажут нам, кого они боятся. И все, что нам нужно сделать, чтобы понять это, это посмотреть, кого они пытаются повредить и/или уничтожить.

Математика не арифметика. Хотя математика могла возникнуть из практики подсчета и измерения, в действительности она имеет дело с логическими рассуждениями, в которых теоремы — общие и частные утверждения — могут быть выведены из исходных предположений. Это, пожалуй, самая чистая и строгая интеллектуальная деятельность, и ее часто считают королевой наук.

У Пола Эрдоса есть теория, что у Бога есть книга, содержащая все теоремы математики с их абсолютно прекрасными доказательствами, и когда он хочет выразить особую признательность доказательству, он восклицает: «Это из книги!»

Погоня за красивыми формулами и изящными теоремами, несомненно, может быстро выродиться в глупый порок, но то же самое может сделать и погоня за строгими общими положениями, настолько общими, что их невозможно применить к какому-либо частному.

Документы должны включать больше побочных замечаний, открытых вопросов и тому подобного. Очень часто они более интересны, чем фактически доказанные теоремы. Увы, большинство людей боятся признаться, что не знают ответа на какой-то вопрос, и, как следствие, воздерживаются от упоминания вопроса, даже если он очень естественный. Как жаль! Что касается меня, я люблю говорить «я не знаю».

Фундаментальные законы Вселенной, соответствующие двум фундаментальным теоремам механической теории тепла. 1. Энергия Вселенной постоянна. 2. Энтропия Вселенной стремится к максимуму.

У меня возникло еще с десяток вопросов. Не говоря уже о двадцати двух возможных решениях каждого из них, шестнадцати получающихся гипотезах и контртеоремах, восьми абстрактных рассуждениях, четырехугольном уравнении, двух аксиомах и лимерике. Это сырой интеллект для вас.

Мы решили, что «тривиальный» означает «доказанный». Поэтому мы пошутили с математиками: у нас есть новая теорема, что математики могут доказывать только тривиальные теоремы, потому что каждая доказанная теорема тривиальна.

Я считаю, что математическая реальность находится вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или наблюдать ее, и что теоремы, которые мы доказываем и которые мы высокопарно описываем как наши «творения», являются просто заметками наших наблюдений.

Теоремы часто сообщают нам сложные истины о простых вещах, но лишь изредка сообщают нам простые истины о сложных вещах. Верить в обратное — значит принимать желаемое за действительное или «зависть к математике».

Аксиоматическая система устанавливает взаимосвязь между тем, что предполагает математик (аксиомы), и тем, что он или она может вывести (теоремы). В лучшем случае взаимосвязь достаточно ясна, чтобы математик мог представить свои рассуждения в неформальном контрольном списке, переходя от шага к шагу с легкой уверенностью, что шаги достаточно малы, чтобы он не смутился, а она не споткнулась. .

Математики могут и действительно заполняют пробелы, исправляют ошибки и предоставляют более подробные и более тщательные исследования, когда их призывают или побуждают к этому. Наша система достаточно хороша для получения надежных теорем, которые можно надежно подтвердить. Просто надежность в первую очередь исходит не от математиков, формально проверяющих формальные аргументы; оно исходит от математиков, тщательно и критически мыслящих о математических идеях.

Теоремы для математики не то же самое, что успешные курсы для еды.

Математик — это устройство для превращения кофе в теоремы.

В этом проблема ложных доказательств истинных теорем; контрпример привести непросто.

Молодые люди должны доказывать теоремы, старики должны писать книги.

Теория чисел в большей степени, чем любая другая область математики, начиналась как экспериментальная наука. Все его самые известные теоремы были выдвинуты предположениями, иногда за сто или более лет до того, как они были доказаны; и они были предложены свидетельством массы вычислений.

Людям нравится думать о себе как о необычных. У нас большой мозг, который позволяет нам думать, и мы думаем, что у нас есть свобода воли и что наше поведение нельзя описать каким-то механистическим набором теорем или идей. Но даже с точки зрения большей части нашего поведения мы на самом деле не сильно отличаемся от других животных.

Сколько теорем в геометрии, которые сначала казались невыполнимыми, со временем успешно разработаны!

Математик — это человек, умеющий находить аналогии между теоремами; лучший математик тот, кто может видеть аналогии между доказательствами, и лучший математик может замечать аналогии между теориями.

Для человека с аналитическими способностями, достаточно проницательного, чтобы понять, что математическое оборудование было мощным мечом в экономике, мир экономики был его или ее устрицей в 1935 году. Земля была усеяна красивыми теоремами, умоляющими, чтобы их взяли и расположили в едином порядке. .

Отдельные, так называемые «красивые теоремы» имеют в глазах современного математика еще меньшее значение, чем открытие нового «красивого цветка» для ученого-ботаника, хотя неспециалист и находит в них главное очарование соответствующих наук.

Математика растет не за счет монотонного увеличения числа бесспорно установленных теорем, а за счет непрестанного улучшения догадок путем рассуждений и критики, за счет логики доказательств и опровержений.

Есть теорема, которая в просторечии переводится как «Вы не можете расчесать волосы шаром для боулинга». ... Ясно, что ни у кого из этих математиков не было афро, потому что расчесать афро - значит содрать его прямо со скальпа. Если бы шары для боулинга имели афро, то да, их можно было бы расчесывать без нарушения математических теорем.

На сотнях страниц развернуты аргументированные доводы, смыкаются аксиомы и теоремы. И что остается с нами в итоге? Общий смысл того, что мир может быть выражен в тщательно обоснованных аргументах, в взаимосвязанных аксиомах и теоремах.

Экономистам часто нравятся поразительные теоремы, результаты которых кажутся противоречащими общепринятому мнению.

Тайна — неотъемлемая часть математики. Математика полна вопросов без ответов, которых намного больше, чем известных теорем и результатов. Природа математики состоит в том, чтобы ставить больше проблем, чем она может решить. Действительно, сама математика может быть построена на небольших островках истины, состоящих из частей математики, которые могут быть подтверждены относительно короткими доказательствами. Все остальное - спекуляции.

Существует бесконечно много вариантов исходной ситуации и, следовательно, несомненно, бесконечно много теорем моральной геометрии.

Никогда не называй себя философом и не болтай много среди неученых о теоремах, но действуй согласно им. Таким образом, на угощении не говорите, как люди должны есть, а ешьте, как вы должны. Ибо помните, что таким образом Сократ также повсеместно избегал всякой хвастовства.